Transformación Bidimensional

Una vez que se tienen las funciones para el trazado de figuras básicas, surge la necesidad de realizar alteraciones o manipulaciones de las mismas; como reducir o aumentar el tamaño, manipular despliegues, girar, entre otros. Estas diversas manipulaciones se llevan a cabo aplicando transformaciones geométricas

 

Traslación

Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra. Se traslada un punto de la posición coordenada (x, y) a una nueva posición (x', y') agregando distancias de traslación, Tx y Ty, a las coordenadas originales:

x' = x + Tx, y' = y + Ty

 

Escalación

Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación. Esta operación puede efectuarse con polígonos multiplicando los valores coordenados (x, y) de cada vértice de frontera por los factores de escalación Sx y Sy para producir las coordenadas transformadas (x', y').

x' = (x)(Sx)

y' = (y)(Sy)

El factor de escalación Sx hace objetos a escala en la dirección x, mientras que Sy lo hace en la dirección y.

 

Rotación

La transformación de puntos de un objeto situados en trayectorias circulares se llama rotación. Este tipo de transformación se especifica con un ángulo de rotación, el cual determina la cantidad de rotación de cada vértice de un polígono.

Se pueden hacer que los objetos giren alrededor de un punto arbitrario o el punto pivote de la transformación de rotación puede colocarse en cualquier parte en el interior o fuera de la frontera exterior de un objeto, el efecto de la rotación consiste en oscilar el objeto con respecto a este punto interno. Con un punto pivote externo, todos los puntos del objeto se despliegan en trayectorias circulares alrededor del pivote.

Representación matricial de las transformaciones bidimensionales 

- Coordenadas homogéneas y representación matricial
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices.
Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales.
 De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.

- Representación matricial.

En el área de la graficación por computadora, es común encontrar la representación de las ecuaciones de transformación por medio de matrices, y se pueden encontrar dos tipos de notaciones para representarlas:
1.- Repesentando las coordenadas de un punto p como vectores renglón, en este caso una matriz de transformación M en 2 dimensiones, multiplica al punto por la derecha para obtener el nuevo punto p'.
p= [x1    x2],   p'=[x1    x2]= p*M

2.- Representando las coordenadas de un punto p como vectores columna, en este caso una matriz de transformación M, multiplica al punto por la izquierda para obtener el nuevo punto p'.

       x1            x1'
p=[ x2 ],  p'=[ x2' ] =M*p 
 

Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:
– Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma
– Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final
• Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones, cada transformación puede representarse como P’ = P M1+ M2

 La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala
 La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación

Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas
coordenadas en cada transformación!
P’’ = P’ M3+ M4= … = P M1M3+ M2 M3+ M4

- Coordenadas homogéneas
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones geométricas como una multiplicación de matrices pues no todas las transformaciones son aplicadas a un punto como una multiplicación de factores.